每日一题[2634]双曲线的垂径定理

已知双曲线 $E: \dfrac{x^2}{4}-y^2=1$ 与直线 $l: y=k x-3$ 相交于 $A,B$ 两点，$M$ 为线段 $A B$ 的中点．

1、当 $k$ 变化时，求点 $M$ 的轨迹方程．

2、若 $l$ 与双曲线 $E$ 的两条渐近线分别相交于 $C,D$ 两点，问：是否存在实数 $k$，使得 $A,B$ 是线段 $C D$ 的两个三等分点？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，说明理由．

解析

1、设 $M(m,n)$，则根据双曲线的垂径定理，有

$$\dfrac nm\cdot \dfrac {n+3}{m}=\dfrac 14\iff m^2-4n(n+3)=0,$$ 因此点 $M$ 的轨迹方程为 $$x^2-4y(y+3)=0,$$ 其中 $$\dfrac {x^2}4-y^2>1~\text{或}~\dfrac{x^2}4-y^2<0,$$ 也即 $$y(y+3)-y^2>1~\text{或}~y(y+3)-y^2<0,$$ 解得 $y\leqslant -3$ 或 $y>\dfrac 13$．

2、设 $A,B,C,D$ 的横坐标分别为 $x_1,x_2,x_3,x_4$，分别联立直线 $y=kx-3$ 和双曲线 $E:\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 和双曲线 $E$ 的渐近线 $H:\dfrac{x^2}4-y^2=0$，则有

$$\begin{cases} x_1,x_2~\text{满足}~x^2-4(kx-3)^2-4=0,\\ x_3,x_4~\text{满足}~x^2-4(kx-3)^2=0,\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases} x_1,x_2~\text{满足}~(1-4k^2)x^2+24kx-40=0,\\ x_3,x_4~\text{满足}~(1-4k^2)x^2+24kx-36=0,\end{cases}$$ 根据双曲线的垂径定理，$AB$ 与 $CD$ 的中点重合，进而 $A,B$ 是线段 $C D$ 的两个三等分点等价于 $|CD|=3|AB|$，也即 $$|x_3-x_4|=3|x_1-x_2|,$$ 即 $$\sqrt{(24k)^2+4\cdot 36\cdot (1-4k^2)}=3\sqrt{(24k)^2+4\cdot 40\cdot (1-4k^2)},$$ 解得 $k=\pm\dfrac 32$．