每日一题[2630]三次函数

已知函数 $f(x)=x(x-3)^2$，若 $f(a)=f(b)=f(c)$，其中 $a<b<c$，则（       ）

A．$1<a<2$

B．$a+b+c=6$

C．$a+b>2$

D．$a b c$ 的取值范围是 $(0,4)$

答案    BCD．

解析    根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=3(x-1)(x-3),$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值 $4$，根据三次函数的图象与性质，$f(x)$ 过点 $(4,4)$，设 $f(a)=f(b)=f(c)=m$，如图．

可得 $0<a<1<b<3<c<4$，且 $0<m<4$． 根据三次方程的韦达定理，有

$$f(x)=x^3-6x^2+9x\implies a+b+c=6,\quad abc=m,$$ 进而 $a+b=6-c$，因此选项 $\boxed{A}$ 错误，选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$ 正确．