每日一题[2623]一波三折

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{2} x^2-k x-1$（$k \in \mathbb{R}$）．

1、若 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是增函数，求实数 $k$ 的取值范围．

2、讨论函数 $f(x)$ 的极值点个数，并说明理由．

3、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$，求证：函数 $f(x)$ 有三个零点．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x-x-k,$$ 根据题意，有 $$\forall x\in\mathbb R,~{\rm e}^x-x-k\geqslant 0,$$ 即 $$\forall \in\mathbb R,~k\leqslant {\rm e}^x-x,$$ 而 ${\rm e}^-x\geqslant 1$，等号当且仅当 $x=0$ 时取得，因此实数 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，当 $k\leqslant 1$ 时，函数 $f(x)$ 没有极值；当 $k>1$ 时，函数 $f'(x)$ 满足

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&(-\infty,0)&0&(0,+\infty)&+\infty\\ \hline f'(x)&+\infty&\searrow&1-k&\nearrow&+\infty\\ \hline\end{array}$$ 因此函数 $f'(x)$ 有两个变号零点，进而有 $1$ 个极大值点和 $1$ 个极小值点． 综上所述，当 $k\leqslant 1$ 时，函数 $f(x)$ 的极值点个数为 $0$；当 $k>1$ 时，函数 $f(x)$ 的极值点个数为 $2$，其中 $1$ 个极大值点 $1$ 个极小值点．

3、根据第 $(2)$ 小题的结果，不妨设 $x_1<0<x_2$，则函数 $f(x)$ 在 $[x_1,x_2]$ 上单调递减，因此

$$f(x_1)>f(0)=0>f(x_2),$$ 而当 $x\to-\infty$ 时，有 $f(x)\to -\infty$，当 $x\to +\infty$ 时，有 $f(x)\to +\infty$，因此函数 $f(x)$ 有 $3$ 个零点．