已知函数 f(x)=ex−12x2−kx−1(k∈R).
1、若 f(x) 在 R 上是增函数,求实数 k 的取值范围.
2、讨论函数 f(x) 的极值点个数,并说明理由.
3、若 f(x) 有两个极值点 x1,x2,求证:函数 f(x) 有三个零点.
解析
1、函数 f(x) 的导函数f′(x)=ex−x−k,
根据题意,有∀x∈R, ex−x−k⩾0,
即∀∈R, k⩽ex−x,
而 e−x⩾1,等号当且仅当 x=0 时取得,因此实数 k 的取值范围是 (−∞,1].
2、根据第 (1) 小题的结果,当 k⩽1 时,函数 f(x) 没有极值;当 k>1 时,函数 f′(x) 满足x−∞(−∞,0)0(0,+∞)+∞f′(x)+∞1−k
+∞
因此函数 f′(x) 有两个变号零点,进而有 1 个极大值点和 1 个极小值点. 综上所述,当 k⩽1 时,函数 f(x) 的极值点个数为 0;当 k>1 时,函数 f(x) 的极值点个数为 2,其中 1 个极大值点 1 个极小值点.
3、根据第 (2) 小题的结果,不妨设 x1<0<x2,则函数 f(x) 在 [x1,x2] 上单调递减,因此f(x1)>f(0)=0>f(x2),
而当 x→−∞ 时,有 f(x)→−∞,当 x→+∞ 时,有 f(x)→+∞,因此函数 f(x) 有 3 个零点.