每日一题[2623]一波三折

已知函数 f(x)=ex12x2kx1kR).

1、若 f(x)R 上是增函数,求实数 k 的取值范围.

2、讨论函数 f(x) 的极值点个数,并说明理由.

3、若 f(x) 有两个极值点 x1,x2,求证:函数 f(x) 有三个零点.

解析

1、函数 f(x) 的导函数f(x)=exxk,

根据题意,有xR, exxk0,
R, kexx,
ex1,等号当且仅当 x=0 时取得,因此实数 k 的取值范围是 (,1]

2、根据第 (1) 小题的结果,当 k1 时,函数 f(x) 没有极值;当 k>1 时,函数 f(x) 满足x(,0)0(0,+)+f(x)+↘1k↗+

因此函数 f(x) 有两个变号零点,进而有 1 个极大值点和 1 个极小值点. 综上所述,当 k1 时,函数 f(x) 的极值点个数为 0;当 k>1 时,函数 f(x) 的极值点个数为 2,其中 1 个极大值点 1 个极小值点.

3、根据第 (2) 小题的结果,不妨设 x1<0<x2,则函数 f(x)[x1,x2] 上单调递减,因此f(x1)>f(0)=0>f(x2),

而当 x 时,有 f(x),当 x+ 时,有 f(x)+,因此函数 f(x)3 个零点.

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