每日一题[2622]最大二值

函数 $p(x)=\ln x+x-4$，$q(x)=a x {\rm e}^x$（$a \in \mathbb R$）．

1、若 $a={\rm e}$，设 $f(x)=p(x)-q(x)$，试证明 $f^{\prime}(x)$ 存在唯一零点 $x_0 \in\left(0, \dfrac{1}{{\rm e}}\right)$，并求 $f(x)$ 的最大值．

2、若关于 $x$ 的不等式 $|p(x)|>q(x)$ 的解集中有且只有两个整数，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、根据题意，有 $f(x)=\ln x+x-4-x{\rm e}^{x+1}$，其导函数

$$f'(x)=\dfrac 1x+1-{\rm e}(x+1){\rm e}^x=\dfrac{(x+1)\left(1-x{\rm e}^{x+1}\right)}{x},$$ 设 $g(x)=1-x{\rm e}^{x+1}$，则 $$g(0)=1,\quad g\left(\dfrac{1}{\rm e}\right)=1-{\rm e}^{\frac{1}{\rm e}}<0,$$ 而 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$ 上单调递减，因此 $f'(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$ 上存在唯一零点 $x_0$，进一步可得 $f(x)$ 的极大值，也为最大值 $$M=f(x_0)=\ln x_0+x_0-4-x_0{\rm e}^{x_0+1},$$ 其中 $1-x_0{\rm e}^{x_0+1}=0$ 即 $x_0+1+\ln x_0=0$，因此 $$M=-(x_0+1)-4-1=-6.$$

2、根据题意，有

$$|p(x)|>q(x)\iff a<\dfrac{|\ln x+x-4|}{x{\rm e}^x},$$ 设不等式右侧函数为 $h(x)$，则 $$h(x)=\begin{cases} \dfrac3{\rm e},&x=1,\\ \dfrac{2-\ln 2}{2{\rm e}^2},&x=2,\\ \dfrac{\ln x+x-4}{x{\rm e}^x},&x\geqslant 3,\end{cases}$$ 当 $x\geqslant 3$ 时，有 $$h'(x)=-\dfrac{(x+1)(\ln x+x-5)}{x^2{\rm e}^x},$$ 因此当 $x\geqslant 4$ 时，函数 $h(x)$ 单调递减，而 $h(3)=\dfrac{\ln 3-1}{3{\rm e}^3}$，$h(4)=\dfrac{\ln 2}{2{\rm e}^4}$，因此有 $$h(1)>h(2)>h(4)>h(3),$$ 于是实数 $a$ 的取值范围是 $[h(4),h(2))$，即 $\left[\dfrac{\ln 2}{2{\rm e}^4},\dfrac{2-\ln 2}{2{\rm e}^2}\right)$．