每日一题[2620]分离变量

设函数 $f(x)=\ln x+(x-a)^2$，$a \in \mathbb R$．

1、若 $a=0$，求函数 $f(x)$ 在 $[1, {\rm e}]$ 上的最小值．

2、若函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac{1}{2}, 2\right]$ 上存在单调递增区间，试求实数 $a$ 的取值范围．

3、求函数 $f(x)$ 的极值点．

解析

1、当 $a=0$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{2x^2+1}{x},$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $[1,{\rm e}]$ 上单调递增，所求最小值为 $f(1)=1$．

2、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac 1x+2(x-a)=\dfrac{x+\dfrac1{2x}-a}{x},$$ 根据题意，函数 $g(x)=x+\dfrac{1}{2x}$（$x\in\left[\dfrac 12,2\right]$）的图象有在直线 $y=a$ 上方的部分，而 $g(x)$ 在 $\left[\dfrac 12,2\right]$ 上先单调递减再单调递增，又 $g\left(\dfrac 12\right)=\dfrac32$，$g(2)=\dfrac 94$，因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 94\right)$．

3、根据第 $(2)$ 小题的结果，$g(x)$ 的最小值为 $g\left(\dfrac{\sqrt 2}2\right)=\sqrt 2$，于是当 $a\leqslant \sqrt 2$ 时，函数 $f(x)$ 没有极值点；当 $a>\sqrt 2$ 时，函数 $f(x)$ 的极大值点为 $x=\dfrac{a-\sqrt{a^2-2}}2$，极小值点为 $x=\dfrac{a+\sqrt{a^2-2}}2$．