每日一题[2618]数值估计

设函数 $f(x)=a^x+{\rm e}^{-x}$（$a>1$）．

1、求证：$f(x)$ 有极值．

2、若 $x=x_0$ 时 $f(x)$ 取极值，且对任意正整数 $a$ 都有 $x_0 \in(m, n)$，其中 $m, n \in \mathbb Z$，求 $n-m$ 的最小值．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=a^x\ln a-{\rm e}^{-x}=\dfrac{(a{\rm e})^x\ln a-1}{{\rm e}^x},$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,{\log_{a{\rm e}}}\dfrac{1}{\ln a}\right)$ 上单调递减，在 $\left({\log_{a{\rm e}}}\dfrac{1}{\ln a},+\infty\right)$ 上单调递增，在 $x={\log_{a{\rm e}}}\dfrac{1}{\ln a}$ 时取得极小值，命题得证．

2、根据题意，设 $g(x)=-\dfrac{\ln x}{1+x}$，则 $x_0=g(\ln a)$，其中 $\ln a\in\{\ln 2,\cdots\}$，于是

$$g'(x)=\dfrac{-1-x+x\ln x}{x(1+x)^2},$$ 设 $h(x)=-1-x+x\ln x$，则 $$h'(x)=\ln x,$$ 于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&(0,1)&1&(1,+\infty)&+\infty\\ \hline h(x)&-1&\searrow&-2&\nearrow&+\infty\\ \hline\end{array}$$ 因此 $h'(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上有唯一零点，设为 $t$，有 $-1-t+t\ln t=0$，且 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&(0,t)&t&(t,+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&+\infty&\searrow&-\dfrac{\ln t}{1+t}&\nearrow&0\\ \hline\end{array}$$ 其中 $g(x)$ 的极小值，也为最小值 $$T=-\dfrac{\ln t}{1+t}=-\dfrac{1+\dfrac 1t}{1+t}=-\dfrac 1t\in(-1,0),$$ 结合 $$0<g(\ln 2)=\dfrac{\ln\dfrac{1}{\ln 2}}{1+\ln 2}<\dfrac{\ln \dfrac 32}{\ln (2{\rm e})}<1,$$ 从而 $m=-1$，$n=1$，因此 $n-m$ 的最小值为 $2$．