每日一题[2613]极值判定

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x+a x^2-x$．

1、当 $a=0$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $A(0, f(0))$ 处的切线．

2、若 $x=0$ 为 $f(x)$ 的一个极小值点，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、当 $a=0$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x-1,$$ 因此 $f(0)=1$，$f'(0)=0$，所求切线方程为 $y=1$．

2、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x+2ax-1,$$ 其二阶导函数为 $$f''(x)={\rm e}^x+2a.$$ 若 $x=0$ 为 $f(x)$ 的一个极小值点，则 $$\begin{cases} f'(0)=0,\\ f''(0)>0,\end{cases}\iff 1+2a>0,$$ 解得实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 12,+\infty\right)$．