每日一题[2608]分类讨论

已知函数 $f(x)=a \ln x-x$．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、设 $0<a<1$，若函数 $g(x)=4 f(x)+\dfrac{x^2}{2 a}-x$ 在 $x \in[1,+\infty)$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)\dfrac{a-x}{x},$$ 于是当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减；当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,a)$ 上单调递增，在 $(a,+\infty)$ 上单调递减．

2、函数 $g(x)=4a\ln x-5x+\dfrac{x^2}{2a}$，于是函数 $g(x)$ 的导函数

$$g'(x)=\dfrac{(x-a)(x-4a)}{ax},$$ 讨论分界点为 $a=\dfrac 14$．

情形一     $0<a\leqslant \dfrac 14$．此时函数 $g(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，而当 $x\to+\infty$ 时，有 $g(x)\to +\infty$，因此题意即

$$g(1)\leqslant 0\iff \dfrac{1}{2a}-5\leqslant 0\iff \dfrac1{10}\leqslant a\leqslant \dfrac14.$$

情形二     $\dfrac14<a<1$，此时函数 $g(x)$ 在 $[1,4a)$ 上单调递减，在 $(4a,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=4a$ 处取得极小值，也为最小值，因此题意即

$$g(4a)\leqslant 0\iff 4a(\ln(4a)-3)\leqslant 0\iff \dfrac14<a<1.$$

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac1{10},1\right)$．