每日一题[2606]复合函数

已知函数 $f(x)=x {\rm e}^x-2 a x+a$，$g(x)=a \ln x-a x+{\rm e}$，$a \in \mathbb{R}$．

1、若 $\varphi(x)=f^{\prime}(x)$，求函数 $\varphi(x)$ 的单调区间，并证明：$\varphi(x) \geqslant-2 a-{\rm e}^{-2}$．

2、若函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、根据题意，有

$$\varphi(x)=f'(x)=(x+1){\rm e}^x-2a,$$ 于是其导函数 $$\varphi'(x)=(x+2){\rm e}^x,$$ 于是函数 $\varphi(x)$ 的单调递增区间是 $(-2,+\infty)$，单调递减区间是 $(-\infty,-2)$，在 $x=-2$ 处取得极小值，也为最小值 $$\varphi(-2)=-2a-{\rm e}^{-2},$$ 因此 $\varphi(x) \geqslant-2 a-{\rm e}^{-2}$．

2、方程 $h(x)=0$ 即

$$x{\rm e}^x-2ax+a=a\ln x-ax+{\rm e},$$ 即 $$(x+\ln x-1)a=x{\rm e}^x-{\rm e},$$ 也即 $$\left(\ln \left(x{\rm e}^x\right)-1\right)a=x{\rm e}^x-{\rm e},$$ 因此问题即函数 $p(x)=(\ln x-1)a-x+{\rm e}$ 只有一个零点．注意到 $p({\rm e})=0$，函数 $p(x)$ 的导函数 $$p'(x)=\dfrac{a-x}{x},$$ 因此当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $p(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，符合题意；当 $a>0$ 时，函数 $p(x)$ 在 $x=a$ 处取极大值，也为最大值，此时 $a={\rm e }$． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]\cup\{{\rm e}\}$．