每日一题[2604]含参讨论

已知函数 $f(x)=a x+\dfrac{x-1}{x^2}-2 a \ln x$（$x>0$，$a \in\mathbb R$）．

1、讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $f(x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{(x-2)\left(ax^2-1\right)}{x^3},$$ 于是讨论分界点为 $a=0,\dfrac14$．

情形一     $a\leqslant 0$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递增，在 $(2,+\infty)$ 上单调递减．

情形二     $0<a<\dfrac14$．此时函数 $f(x)$ 在 $\left(0,2\right)$ 上单调递增，在 $\left(2,\dfrac{1}{\sqrt a}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{1}{\sqrt a},+\infty\right)$ 上单调递增．

情形三     $a=\dfrac14$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．

情形四     $a>\dfrac14$．此时函数 $f(x)$ $\left(0,\dfrac{1}{\sqrt a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac 1{\sqrt a},2\right)$ 上单调递减，在 $(2,+\infty)$ 上单调递增．

2、注意到 $$2\ln x-x=2\ln \dfrac x2-x+2\ln 2\leqslant 2\left(\dfrac x2-1\right)-x+2\ln 2=2(\ln 2-1)<0,$$ 因此方程 $f(x)=0$ 即 $$a=\dfrac{x-1}{x^2(2\ln x-x)},$$ 设右侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{(x-2)(-1+2x-2\ln x)}{x^3(2\ln x-x)^2},$$ 因此有 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&(0,2)&2&(2,+\infty)&+\infty \\ \hline g(x)&+\infty&\searrow&\dfrac{1}{8(\ln 2-1)}&\nearrow&0\\ \hline\end{array}$$ 所以若 $f(x)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{1}{8(\ln 2-1)},0\right)$．