每日一题[2601]分离变量

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{3} x^3+a x^2+4 x+b$，其中 $a, b \in\mathbb R$ 且 $a \neq 0$．

1、求证：函数 $f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线与 $f(x)$ 总有两个不同的公共点．

2、若函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上有且仅有一个极值点，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=x^2+2ax+4,$$ 于是 $f(0)=b$，$f'(0)=4$，其在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程为 $$y=4x+b,$$ 联立函数 $f(x)$ 与切线方程，可得 $$\dfrac13x^3+ax^2+4x+b=4x+b\iff x^2(x+3a)=0,$$ 于是函数 $f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线与 $f(x)$ 总有两个不同的公共点 $(0,0)$ 和 $(-3a,-12a+b)$．

2、根据题意，函数 $f'(x)=x^2+2ax+4$ 在区间 $(-1,1)$ 上有且仅有一个变号零点．由于方程 $f'(x)=0$ 即

$$-2a=x+\dfrac 4x,$$ 因此 $-2a$ 的取值范围是 $(-\infty,-5)\cup (5,+\infty)$，进而实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac52\right)\cup\left(\dfrac52,+\infty\right)$．