已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{3} x^3+a x^2+4 x+b$，其中 $a, b \in\mathbb R$ 且 $a \neq 0$．
1、求证：函数 $f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线与 $f(x)$ 总有两个不同的公共点．
2、若函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上有且仅有一个极值点，求实数 $a$ 的取值范围．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=x^2+2ax+4,\]于是 $f(0)=b$，$f'(0)=4$，其在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程为\[y=4x+b,\]联立函数 $f(x)$ 与切线方程，可得\[\dfrac13x^3+ax^2+4x+b=4x+b\iff x^2(x+3a)=0,\]于是函数 $f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线与 $f(x)$ 总有两个不同的公共点 $(0,0)$ 和 $(-3a,-12a+b)$．
2、根据题意，函数 $f'(x)=x^2+2ax+4$ 在区间 $(-1,1)$ 上有且仅有一个变号零点．由于方程 $f'(x)=0$ 即\[-2a=x+\dfrac 4x,\]因此 $-2a$ 的取值范围是 $(-\infty,-5)\cup (5,+\infty)$，进而实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac52\right)\cup\left(\dfrac52,+\infty\right)$．