每日一题[2600]必要性探路

已知 $a \in \mathbb R$，函数 $f(x)={\rm e}^x+a x^2$，$g(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数．

1、当 $a=-\dfrac{{\rm e}}{2}$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、当 $a>0$ 时，求证：存在唯一的 $x_0 \in\left(-\dfrac{1}{2 a}, 0\right)$，使得 $g\left(x_0\right)=0$．

3、若实数 $a, b$ 使得 $f(x) \geqslant b$ 恒成立，求 $a-b$ 的最小值．

解析

1、根据题意，有 $$g(x)=f'(x)=x\left({\rm e}^x-{\rm e}\right),$$ 于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty,0)$ 和 $(1,+\infty)$，单调递减区间是 $(0,1)$．

2、根据题意，有 $$g\left(-\dfrac{1}{2a}\right)={\rm e}^{-\frac1{2a}}-1<0<1=g(0),$$ 而 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增，因此存在唯一的 $x_0 \in\left(-\dfrac{1}{2 a}, 0\right)$，使得 $g\left(x_0\right)=0$．

3、根据题意，有 $$\forall x\in\mathbb R,~{\rm e}^x+ax^2-b\geqslant 0,$$ 设不等式左侧函数为 $h(x)$，则 $h(-1)\geqslant 0$，从而 $a-b\geqslant -\dfrac{1}{\rm e}$，接下来证明 $a-b$ 可以取得 $-\dfrac1{\rm e}$，只需要使得函数 $h(x)$ 在 $x=-1$ 处取得最小值．函数 $h(x)$ 的导函数 $$h'(x)={\rm e}^x+2a,$$ 取 $a=-\dfrac{1}{2{\rm e}}$，$b=\dfrac{1}{2{\rm e}}$ 即可． 综上所述，$a-b$ 的最小值为 $-\dfrac{1}{\rm e}$．