每日一题[2599]分类讨论

已知函数 $f(x)={\rm e}^{2 x}-a {\rm e}^x-a^2 x$，$a \in \mathbb R$．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、讨论函数 $f(x)$ 的零点的个数．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\left({\rm e}^x-a\right)\left(2{\rm e}^x+a\right),$$ 因此 当 $a=0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增； 当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,\ln\left(-\dfrac a2\right)\right)$ 上单调递减，在 $\left(\ln\left(-\dfrac a2\right),+\infty\right)$ 上单调递增； 当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,\ln a)$ 上单调递减，在 $(\ln a,+\infty)$ 上单调递增．

2、$f(x)$ 的零点个数即 $g(x)=x^2-ax-a^2\ln x$ 的零点个数，函数 $g(x)$ 的导函数

$$g'(x)=2x-a-\dfrac{a^2}x=\dfrac{2x^2-ax-a^2}{x}=\dfrac{(x-a)(2x+a)}{x}.$$

情形一     $a=0$．此时 $f(x)>0$，没有零点．

情形二     $a<0$．此时

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0+&\left(0,-\dfrac a2\right)&-\dfrac a2&\left(-\dfrac a2,+\infty\right)&+\infty\\ \hline f(x)&+\infty&\searrow&\left(\dfrac 34-\ln\left(-\dfrac a2\right)\right)a^2&\nearrow&+\infty\\ \hline\end{array}$$ 因此当 $a<-2{\rm e}^{\frac 34}$ 时，$f(x)$ 有 $2$ 个零点；当 $a=-2{\rm e}^{\frac 34}$ 时，$f(x)$ 有 $1$ 个零点；当 $-2{\rm e}^{\frac 34}<a<0$ 时，$f(x)$ 没有零点．

情形三     $a>0$．此时

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0+&\left(0,a\right)&a&\left(a,+\infty\right)&+\infty\\ \hline f(x)&+\infty&\searrow&a^2\ln\dfrac 1a&\nearrow&+\infty\\ \hline\end{array}$$ 因此当 $a>1$ 时，$f(x)$ 有 $2$ 个零点；当 $a=1$ 时，$f(x)$ 有 $1$ 个零点；当 $0<a<1$ 时，$f(x)$ 没有零点．

综上所述，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $\begin{cases} 0,&a\in\left(-2{\rm e}^{\frac 34},1\right),\\ 1,&a\in\left\{-2{\rm e}^{\frac 34},1\right\},\\ 2,&a\in\left(-\infty,-2{\rm e}^{\frac 34}\right)\cup\left(1,+\infty\right).\end{cases}$