每日一题[2595]分离变量

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}+k\ln x$，$k\ne 0$．

1、当 $k=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间和极值．

2、若关于 $x$ 的方程 $f(x)=k$ 有解，求实数 $k$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}+k\ln x$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，

$$f'(x)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{k}{x}.$$ 当 $k=1$ 时， $$f'(x)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{{{x}^{2}}},$$ 令 $f'(x)=0$，得 $x=1$，所以 $f'(x),f(x)$ 随 $x$ 的变化情况如下表： $$\begin{array}{c|c|c|c}\hline x & (0,1) & {1} & (1,+\infty) \\ \hline f^{\prime}(x) & {-} & {0} & {+} \\ \hline f(x) & {\searrow} & \text{极小值} & {\nearrow} \\ \hline \end{array}$$ 所以 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(0,1)$，单调递增区间为 $(1,+\infty)$，在 $x=1$ 处取得极小值 $f(1)=1$，无极大值．

2、原问题等价于方程

$$\dfrac{1}{k}=x(1-\ln x)$$ 有解．令 $g(x)=x(1-\ln x)$，则 $$g'(x)=-\ln x.$$ 令 $g'(x)=0$，得 $x=1$，所以 $g'(x),g(x)$ 随 $x$ 的变化情况如下表： $$\begin{array}{c|c|c|c}\hline x & (0,1) & {1} & (1,+\infty) \\ \hline g^{\prime}(x) & {+} & {0} & {-} \\ \hline g(x) & {\nearrow} & \text{极大值} & {\searrow} \\ \hline \end{array}$$ 因此 $g(x)$ 的最大值为 $g(1)=1$． 又当 $x>1$ 时，$1-\ln x<0$，故 $$x(1-\ln x)<1-\ln x,$$ 从而函数 $g(x)$ 的值域为 $(-\infty,1]$． 综上所述，当 $\dfrac{1}{k}\in(-\infty,1]$ 时，关于 $x$ 的方程 $f(x)=k$ 有解，即 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,0)\cup[1,+\infty)$．