每日一题[2584]基底化

在平行四边形 ABCD 中,AD=1BAD=60ECD 的中点.若 ACBE=1,则 AB 的长为_______.

答案    12

解析    本题考查平面向量的数量积,选择合适的基底进行转化计算即可. 记 \boldsymbol a=\overrightarrow {AD}\boldsymbol b=\overrightarrow{AB},则\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b =\dfrac 12|\boldsymbol b|.根据题意,有\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BE} = \left(\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AD} \right)\cdot\left(\overrightarrow {AD}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}\right)=1+\dfrac14|\boldsymbol b|-\dfrac 12|\boldsymbol b|^2,进而由 \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BE} = 1 解得 |\boldsymbol b|=\dfrac 12

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