每日一题[2584]基底化

在平行四边形 $ABCD$ 中，$AD = 1$，$\angle BAD = 60^\circ$，$E$ 为 $CD$ 的中点．若 $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BE} = 1$，则 $AB$ 的长为_______．

答案    $\dfrac {1}{2}$．

解析    本题考查平面向量的数量积，选择合适的基底进行转化计算即可． 记 $\boldsymbol a=\overrightarrow {AD}$，$\boldsymbol b=\overrightarrow{AB}$，则

$$\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b =\dfrac 12|\boldsymbol b|.$$ 根据题意，有 $$\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BE} = \left(\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AD} \right)\cdot\left(\overrightarrow {AD}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}\right)=1+\dfrac14|\boldsymbol b|-\dfrac 12|\boldsymbol b|^2,$$ 进而由 $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BE} = 1$ 解得 $|\boldsymbol b|=\dfrac 12$．