每日一题[2583]精准射击

设 $a \in \left[ - 2,0\right]$，已知函数 $f\left(x\right) = {\begin{cases} {x^3} - \left(a + 5\right)x,&x \leqslant 0, \\ {x^3} - \dfrac{a + 3}{2}{x^2} + ax,&x > 0. \\ \end{cases}}$

1、证明：$f\left(x\right)$ 在区间 $\left( - 1,1\right)$ 内单调递减，在区间 $\left(1, + \infty \right)$ 内单调递增．

2、设曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 ${P_i}\left({x_i},f\left({x_i}\right)\right)$（$i = 1,2,3$）处的切线相互平行，且 ${x_1}{x_2}{x_3} \ne 0$， 证明：${x_1} + {x_2} + {x_3} > - \dfrac{1}{3}$．

解析

1、本题考查利用导数研究函数单调性，按导数的零点分段讨论并注意函数的连续性即可． 根据题意，有

$$f'(x)=\begin{cases} 3x^2-(a+5),&x\in(-\infty,0),\\ 3x^2-(a+3)x+a,&x\in(0,+\infty),\end{cases}=\begin{cases} 3x^2-(a+5),&x\in(-\infty,0),\\ (3x-a)(x-1),&x\in(0,+\infty),\end{cases}$$ 因此 $$\begin{array}{c|ccccccc}\hline x&\left(-\infty,-\sqrt{\dfrac{a+5}3}\right)&-\sqrt{\dfrac{a+5}3}&\left(-\sqrt{\dfrac{a+5}3},0\right)&0&(0,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline f'(x)&+&0&-&/&-&0&+\\ \hline f(x)&\nearrow&\text{极小值}&\searrow&0&\searrow&\text{极大值}&\nearrow \\ \hline \end{array}$$ 且函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上连续，而 $-\sqrt{\dfrac{a+5}3}<-1$，因此函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left( - 1,1\right)$ 内单调递减，在区间 $\left(1, + \infty \right)$ 内单调递增．

2、本题考查利用导数研究函数的切线，将问题转化为函数的零点分布问题是解决问题的关键． 如图，不妨设 $x_1<x_2<x_3$，且

$$f'(x_1)=f'(x_2)=f'(x_3)=t,$$ 则 $t\in\left(-\dfrac{(a-3)^2}{12},a\right)$．

可得 $x_2+x_3=\dfrac{a+3}3$，因此只需要证明

$$x_1>-\dfrac{a+4}3,$$ 设 $g(x)=3x^2-(a+5)$，则 $g(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，因此只需要证明 $$g(x_1)<g\left(-\dfrac{a+4}3\right)\impliedby t<\dfrac{a^2+5a+1}3\implies a<\dfrac{a^2+5a+1}3,$$ 这显然成立，因此命题得证．