设 a∈[−2,0],已知函数 f(x)={x3−(a+5)x,x⩽0,x3−a+32x2+ax,x>0.
1、证明:f(x) 在区间 (−1,1) 内单调递减,在区间 (1,+∞) 内单调递增.
2、设曲线 y=f(x) 在点 Pi(xi,f(xi))(i=1,2,3)处的切线相互平行,且 x1x2x3≠0, 证明:x1+x2+x3>−13.
解析
1、本题考查利用导数研究函数单调性,按导数的零点分段讨论并注意函数的连续性即可. 根据题意,有f′(x)={3x2−(a+5),x∈(−∞,0),3x2−(a+3)x+a,x∈(0,+∞),={3x2−(a+5),x∈(−∞,0),(3x−a)(x−1),x∈(0,+∞),因此x(−∞,−√a+53)−√a+53(−√a+53,0)0(0,1)1(1,+∞)f′(x)+0−/−0+f(x)极小值
0
极大值
且函数 f(x) 在 (−1,1) 上连续,而 −√a+53<−1,因此函数 f(x) 在区间 (−1,1) 内单调递减,在区间 (1,+∞) 内单调递增.
2、本题考查利用导数研究函数的切线,将问题转化为函数的零点分布问题是解决问题的关键. 如图,不妨设 x1<x2<x3,且f′(x1)=f′(x2)=f′(x3)=t,则 t∈(−(a−3)212,a).
可得 x2+x3=a+33,因此只需要证明x1>−a+43,设 g(x)=3x2−(a+5),则 g(x) 在 (−∞,0) 上单调递减,因此只需要证明g(x1)<g(−a+43)⟸t<a2+5a+13⟹a<a2+5a+13,这显然成立,因此命题得证.