每日一题[2583]精准射击

a[2,0],已知函数 f(x)={x3(a+5)x,x0,x3a+32x2+ax,x>0.

1、证明:f(x) 在区间 (1,1) 内单调递减,在区间 (1,+) 内单调递增.

2、设曲线 y=f(x) 在点 Pi(xi,f(xi))i=1,2,3)处的切线相互平行,且 x1x2x30, 证明:x1+x2+x3>13

解析

1、本题考查利用导数研究函数单调性,按导数的零点分段讨论并注意函数的连续性即可. 根据题意,有f(x)={3x2(a+5),x(,0),3x2(a+3)x+a,x(0,+),={3x2(a+5),x(,0),(3xa)(x1),x(0,+),因此x(,a+53)a+53(a+53,0)0(0,1)1(1,+)f(x)+0/0+f(x)↗极小值↘0↘极大值↗且函数 f(x)(1,1) 上连续,而 a+53<1,因此函数 f(x) 在区间 (1,1) 内单调递减,在区间 (1,+) 内单调递增.

2、本题考查利用导数研究函数的切线,将问题转化为函数的零点分布问题是解决问题的关键. 如图,不妨设 x1<x2<x3,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=t,t((a3)212,a)

可得 x2+x3=a+33,因此只需要证明x1>a+43,g(x)=3x2(a+5),则 g(x)(,0) 上单调递减,因此只需要证明g(x1)<g(a+43)t<a2+5a+13a<a2+5a+13,这显然成立,因此命题得证.

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