每日一题[2581]中间变量

已知函数 $f\left(x\right) = {x^2}\ln x$．

1、求函数 $f\left( x \right)$ 的单调区间．

2、证明：对任意的 $t > 0$，存在唯一的 $s$，使 $t = f\left( s \right)$．

3、设 $(2)$ 中所确定的 $s$ 关于 $t$ 的函数为 $s = g\left( t \right)$，证明：当 $t > {{\mathrm{e}}^2}$ 时，有 $\dfrac{2}{5} < \dfrac{\ln g\left( t \right)}{\ln t} < \dfrac{1}{2}$．

解析

1、本题考查利用导数研究函数的单调性，求导后根据导数的零点分段讨论即可． 函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left( {0, + \infty } \right)$．

$$f'\left(x\right) = 2x\ln x + x = x\left( {2\ln x + 1} \right),$$ 所以函数 $f\left(x\right)$ 的单调递减区间是 $\left( {0,\dfrac{1}{{\sqrt {\mathrm{e}} }}} \right)$，单调递增区间是 $\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {\mathrm{e}} }}, + \infty } \right)$．

2、本题考查利用导数研究函数的零点，正确解读题中条件并转化是解决问题的关键． 一方面，对于任意 $t>0$，有

$$f(1)=0<t,\quad f\left({\rm e}^t\right)={\rm e}^{2t}\cdot t>t,$$ 于是存在 $x\in\left(1,{\rm e}^t\right)$，使得 $t=f(s)$． 另一方面，函数 $f(x)$ 在 $\left(1,{\rm e}^t\right)$ 上单调递增，因此上述使得 $t=f(s)$ 的 $s$ 唯一． 综上所述，命题成立．

3、本题考查利用导数证明函数不等式，选用合适的变量化简不等式后利用对数的基本放缩消去对数部分是解决问题的关键． 根据题意，有 $s=g(t)$ 等价于 $t=f(s)$，于是

$$\dfrac{\ln g\left(t\right)}{\ln t} = \dfrac{\ln s}{\ln f\left(s\right)} = \dfrac{\ln s}{{\ln \left({s^2}\ln s\right)}} = \dfrac{\ln s}{2\ln s + \ln \left(\ln s\right)} = \dfrac{u}{2u + \ln u},$$ 其中 $u = \ln s$．因此 $$\dfrac 25<\dfrac{\ln g\left(t\right)}{\ln t} <\dfrac 12\iff 0<\ln u <\dfrac u2,$$ 其中 $$t=s^2\ln s={\rm e}^{2u}u>{\rm e}^2\iff 2u+\ln u>2.$$ 由 $\ln x\leqslant x-1$，可得 $$2<2u+\ln u\leqslant 3u-1\implies u>1\implies \ln u >0,$$ 且 $$\dfrac u2\geqslant \ln\dfrac u2+1=\ln u+1-\ln 2>\ln u,$$ 因此命题得证．