每日一题[2580]分离变量

已知函数 $f(x)={\rm e}^x+x^2-x+1$．

1、求 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $x<0$，$\dfrac{(f(x)-x^2-1)a+2x}{f(x)}\geqslant -1$，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x+2x-1,$$ 该函数单调递增，且注意到 $f'(0)=0$，因此函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．

2、根据题意，有

$$\forall x<0,\dfrac{\left({\rm e}^x-x\right)a+2x}{{\rm e}^x+x^2-x+1}\geqslant-1.$$ 注意到 $${\rm e}^x+x^2-x+1\geqslant (x+1)+x^2-x+1=x^2+2>0,$$ 于是题意即 $$\forall x<0,\left({\rm e}^x-x\right)a+{\rm e}^x+x^2+x+1\geqslant 0,$$ 即 $$\forall x<0,a\geqslant -\dfrac{{\rm e}^x+x^2+x+1}{{\rm e}^x-x},$$ 设不等式右侧函数为 $g(x)$，则 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=\dfrac{\left({\rm e}^x+1\right)(x+1)(x-1)}{\left({\rm e}^x-x\right)^2},$$ 因此 $$\begin{array}{c|ccccc}\hline x&(-\infty,-1)&-1&(-1,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline g(x)&\nearrow&-1&\searrow&-\dfrac{{\rm e}+3}{{\rm e}-1}&\nearrow\\ \hline\end{array}$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $[-1,+\infty)$．