每日一题[2578]利用导数研究零点之三

函数 $f(x)=a x-\ln (x+1)$，$g(x)=\sin x$，且 $f(x) \geqslant 0$ 恒成立．

1、求实数 $a$ 的取值范围 $M$．

2、当 $a \in M$ 时，判断 $f(x)$ 图象与 $g(x)$ 图象的交点个数，并证明．

解析

1、根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=a-\dfrac1{x+1},$$ 注意到 $f(0)=0$，$f'(0)=a-1$．

情形一    $a>1$．此时在 $x\in\left(\dfrac 1a-1,0\right)$ 上，$f(x)$ 单调递增，因此在该区间上 $f(x)<0$，不符合题意．

情形二     $a<1$．此时在 $x\in\left(0,\dfrac 1a-1\right)$ 上，$f(x)$ 单调递减，因此在该区间上 $f(x)<0$，不符合题意．

情形三    $a=1$．此时 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递减，在 $(1 0,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=0$ 处取得极小值亦为最小值 $f(0)=0$，符合题意．

综上所述，$a$ 的取值范围 $M=\{1\}$．

2、当 $a\in M$ 时，有 $a=1$．考虑函数 $h(x)=f(x)-g(x)$，即

$$h(x)=x-\ln (x+1)-\sin x,$$ 其导函数 $$h'(x)=1-\dfrac 1{x+1}-\cos x,$$ 注意到 $h(0)=0$．

情形一     $x\in (-1,0)$．此时

$$h'(x)=\dfrac x{x+1}-\cos x<0,$$ 于是 $h(x)$ 单调递减，又 $h(0)=0$，于是在该区间上 $h(x)$ 没有零点．

情形二     $x\in (0,\pi)$．此时 $h'(x)$ 单调递增，又

$$h'(0)=-1,\quad h'(\pi)=\dfrac{\pi}{\pi+1}>0,$$ 因此 $h(x)$ 先减后增．注意到 $$h(0)=0,\quad h(\pi)=\pi-\ln(\pi+1)>3-\ln 5>0,$$ 因此在该区间上 $h(x)$ 有唯一零点．

情形三    $x\in (\pi,+\infty)$．此时

$$h(x)>x-1-\ln(x+1),$$ 而右侧函数（记为 $r(x)$）在 $x\in [\pi,+\infty)$ 上单调递增，结合 $r(\pi)>0$ 可得在该区间上 $h(x)$ 没有零点．

综上所述，$h(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 共有 $2$ 个零点，因此 $f(x)$ 图象与 $g(x)$ 图象的交点个数为 $2$．