已知函数 f(x)=aex+xlnx+1.
1、当 a=−1e 时,证明 f(x) 在 (0,+∞) 单调递减.
2、讨论 f(x) 的零点个数.
解析
1、根据题意,函数 f(x) 的导函数f′(x)=1+aex+lnx,当 a=−1e 时,有f′(x)=1−ex−1+lnx,而 lnx⩽x−1,ex−1⩾x,因此有 f′(x)⩽0,因此函数 f(x) 在 (0,+∞) 单调递减.
2、方程 f(x)=0 即−a=e−x(1+xlnx),记右侧函数为 g(x),则其导函数g′(x)=−e−x(x−1)lnx⩽0,因此 g(x) 是 R+ 上的单调递减函数,当 x→0+ 时,有 g(x)→1;当 x→+∞ 时,有 g(x)→0.
情形一 −a∈(−∞,0].此时有g(x)=1+xlnxex⩾1+x(1−1x)ex>xex>0,因此 f(x) 的零点个数为 0.
情形二 −a∈(0,1).一方面,当 x>max{1,6−a} 时,有g(x)⩽1+x(x−1)ex<x216x3=6x<−a,另一方面,当 x<min{1,ln2−a+1,(e(1+a)4)2}, 时,有g(x)⩾1ex+x⋅2(1−1√x)ex=1ex+2√x(√x−1)ex>1ex−2√xe>−a+22−1+a2=a,因此函数 f(x) 的零点个数为 1.
情形三 −a∈[1,+∞).此时在 x∈(0,1) 上,有ex−1−xlnx>ex−1>x>0,于是 g(x)<1,因此函数 f(x) 的零点个数为 0.
综上所述,当 a∈(−∞,−1] 或 a∈[0,+∞) 时,函数 f(x) 的零点个数为 0;当 a∈(−1,0) 时,函数 f(x) 的零点个数为 1.
捉虫,情形二第二个点倒数第二行的e^x打成了e。
如果没有打错的话,这个放缩似乎不成立
2sqrt(x)(sqrt(x)-1)/(e^x)>-2sqrt(x)是成立的
但是那一步x取1
即2sqrt(x)(sqrt(x)-1)/((e^x)>-2sqrt(x)/e)是不行的