每日一题[2577]利用导数研究零点之二

已知函数 f(x)=aex+xlnx+1

1、当 a=1e 时,证明 f(x)(0,+) 单调递减.

2、讨论 f(x) 的零点个数.

解析

1、根据题意,函数 f(x) 的导函数f(x)=1+aex+lnx,a=1e 时,有f(x)=1ex1+lnx,lnxx1ex1x,因此有 f(x)0,因此函数 f(x)(0,+) 单调递减.

2、方程 f(x)=0a=ex(1+xlnx),记右侧函数为 g(x),则其导函数g(x)=ex(x1)lnx0,因此 g(x)R+ 上的单调递减函数,当 x0+ 时,有 g(x)1;当 x+ 时,有 g(x)0

情形一     a(,0].此时有g(x)=1+xlnxex1+x(11x)ex>xex>0,因此 f(x) 的零点个数为 0

情形二    a(0,1).一方面,当 x>max{1,6a} 时,有g(x)1+x(x1)ex<x216x3=6x<a,另一方面,当 x<min{1,ln2a+1,(e(1+a)4)2}, 时,有g(x)1ex+x2(11x)ex=1ex+2x(x1)ex>1ex2xe>a+221+a2=a,因此函数 f(x) 的零点个数为 1

情形三    a[1,+).此时在 x(0,1) 上,有ex1xlnx>ex1>x>0,于是 g(x)<1,因此函数 f(x) 的零点个数为 0

综上所述,当 a(,1]a[0,+) 时,函数 f(x) 的零点个数为 0;当 a(1,0) 时,函数 f(x) 的零点个数为 1

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每日一题[2577]利用导数研究零点之二》有3条回应

  1. unlsycn说:

    捉虫,情形二第二个点倒数第二行的e^x打成了e。

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