每日一题[2576]利用导数研究零点之一

已知函数 $f(x)=\left(1+a x^{2}\right) \mathrm{e}^{x}-1$．

1、当 $a \geqslant 0$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、求函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上零点的个数．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x(ax^2+2ax+1),$$ 讨论分界点为 $a=0,1$．

情形一    当 $a\in [0,1]$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增；

情形二    当 $a\in (1,+\infty)$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-1-\sqrt{1-\dfrac 1a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(-1-\sqrt{1-\dfrac 1a},-1+\sqrt{1-\dfrac 1a}\right)$ 上单调递减，在 $\left(-1+\sqrt{1-\dfrac 1a},+\infty\right)$ 上单调递增．

2、注意到 $f(0)=0$，接下来考虑 $x\in (0,1]$ 的情形，此时 $f(x)=0$ 即 $$a=\dfrac{{\rm e}^{-x}-1}{x^2},$$ 记右侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{2{\rm e}^x-x-2}{x^3{\rm e}^x},$$ 而注意到 ${\rm e}^x\geqslant x+1$（$x\in\mathbb R$），因此 $g'(x)>0$，函数 $g(x)$ 在 $(0,1]$ 上单调递增．注意到 $g(1)=\dfrac{1}{\rm e}-1$，且当 $x\to 0+$ 时，$g(x)\to -\infty)$．

情形一    当 $a\in \left(\dfrac{1}{\rm e}-1,+\infty\right)$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(0,1]$ 上没有零点．

情形二   当 $a\in \left(-\infty,\dfrac{1}{\rm e}-1\right]$ 时，当 $x<-\dfrac{1}{2a}$ 时，有 $$g(x)=\dfrac{1}{x^2}\left(\dfrac{1}{{\rm e}^x}-1\right)<\dfrac1{x^2}\left(\dfrac{1}{x+1}-1\right)=-\dfrac{1}{x(x+1)}<-\dfrac{1}{2x}<a,$$ 因此 $g(x)$ 在 $(0,1]$ 上有唯一零点．

综上所述，函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的零点个数为 $$\begin{cases} 1,&a\in \left(\dfrac{1}{\rm e}-1,+\infty\right),\\ 2,&a\in \left(-\infty,\dfrac{1}{\rm e}-1\right].\end{cases}$$