每日一题[2572]解析手段

平面上有一梯形 $A B C D$，其上底 $\overline{A B}=10$，下底 $\overline{C D}=15$，且腰长 $\overline{A D}=\overline{B C}+1$，则（       ）

A．$\angle A>\angle B$

B．$\angle B+\angle D<180^\circ$

C．$\overrightarrow {BA}\cdot \overrightarrow{BC}<0$

D．$\overline{BC}$ 的长可能为 $2$

E．$\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CD}<30$

答案    BCE．

解析    如图，建立直角坐标系，其中 $C\left(-\dfrac 52,0\right)$，$D'\left(\dfrac 52,0\right)$，$D\left(\dfrac{25}2,0\right)$，则 $B$ 在以 $C,D'$ 为焦点，实轴长为 $1$ 的双曲线左支上．

此时 $\angle BCD'>\angle BD'C$，于是选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ 均正确；当 $B$ 的横坐标小于 $-\dfrac 52$ 时，$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}>0$，选项 $\boxed{C}$ 错误；$\overline{BC}$ 的长大于左焦点到左顶点的距离 $2$，选项 $\boxed{D}$ 错误；$\overrightarrow{CB}$ 在 $\overrightarrow{CD}$ 上的投影小于 $2$，因此 $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CD}<30$，选项 $\boxed{E}$ 正确． 综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{E}$ 正确．