每日一题[2563]听声辨形

四棱锥 $A-B C D E$ 中，$\triangle A B C$ 为正三角形，$C D \parallel B E$，$B C=C D=\dfrac{1}{2} B E=1$，$D E=\sqrt{3}$，$A D=\dfrac{3}{2}$．

1、求四棱锥 $A-B C D E$ 的体积．

2、求 $B E$ 与面 $A D E$ 所成角的正弦值．

解析

1、先确定底面形状，作 $DM\parallel BC$ 交 $BE$ 于 $M$，则 $\triangle DEM$ 的三边分别为 $DM=EM=1$，$DE=\sqrt 3$，因此 $\angle DME=120^\circ$，进而可得底面如图．

设 $BC$ 的中点为 $N$，连接 $AN,DN$，则 $AN=ND=\dfrac{\sqrt 3}2$，进而由 $AD=\dfrac 32$，可得 $\angle AND=120^\circ$．由 $AN\perp BC$ 且 $DN\perp BC$ 可得 $\angle AND$ 为 $ABC$ 与 $BCDE$ 所成二面角的平面角，进而设 $A$ 在平面 $BCDE$ 上的投影为 $H$，则 $AH=\dfrac34$，$NH=\dfrac{\sqrt 3}4$．四棱锥 $A-BCDE$ 的体积为\[\dfrac 13\cdot AH\cdot [BCDE]=\dfrac 13\cdot \dfrac 34\cdot \dfrac{3\sqrt 3}4=\dfrac{3\sqrt 3}{16}.\]

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有 $$AE=\sqrt{AH^2+HE^2}=\sqrt{AH^2+(5NH)^2+(3NB)^2}=\dfrac{\sqrt{30}}2,$$ 进而 $\triangle ADE$ 中，$AD=\dfrac 32$，$DE=\sqrt 3$，从而 $$[\triangle ADE]=\dfrac14\sqrt{AD^2\cdot DE^2+DE^2\cdot AE^2+AE^2\cdot AD^2-AD^4-DE^4-AE^4}=\dfrac{3\sqrt{39}}{16}.$$ 从而所求 $B E$ 与面 $A D E$ 所成角的正弦值为 $$\dfrac{d(B,ADE)}{BE}=\dfrac{\dfrac{[\triangle BDE]}{[\triangle ADE]}\cdot d(A,BDE)}{BE}=\dfrac{\dfrac{\frac{\sqrt 3}4}{\frac{3\sqrt{39}}{16}}\cdot \dfrac34}{2}=\dfrac{\sqrt{13}}{13}.$$