每日一题[2562]攻于算计

已知 $P(a, b)$ 是椭圆 $\dfrac{x^{2}}{3}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$ 上的任意一点，过原点 $O$ 作圆 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=\dfrac{6}{5}$（$a^{2} \neq \dfrac{6}{5}$）的两条切线，设这两条切线与椭圆交于 $M, N$ 两点，则 $O M, O N$ 的斜率之积为（       ）

A．$-\dfrac{1}{2}$

B．$-\dfrac{2}{3}$

C．$-\dfrac{3}{4}$

D．$-\dfrac{5}{6}$

答案    B．

解析    设过圆 $O$ 与圆 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=\dfrac{6}{5}$ 相切的直线为 $kx-y=0$，则

$$\dfrac{|ka-b|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{\dfrac 65}\iff (5a^2-6)k^2-10ab\cdot k+(5b^2-6)=0,$$ 从而 $OM,ON$ 的斜率之积为 $$\dfrac{5b^2-6}{5a^2-6}=\dfrac{5\cdot 2\left(1-\dfrac {a^2}3\right)-6}{5a^2-6}=\dfrac{-\dfrac{10}3a^2+4}{5a^2-6}=-\dfrac 23.$$