每日一题[2556]小心讨论

已知抛物线 C:y2=2px 的准线为 l,过点 M(1,0) 且倾斜角为 60 的直线 m 与直线 l 交于点 AB 为抛物线 C 上一点,且满足 AM=MB,则 p= _______.

答案    2,6

解析    

解法一    由 AM=MB 以及直线 m 的倾斜角为 60,可设 A(1+t,3t)B(1t,3t),则{1+t=p2,(3t)2=2p(1t),(p,t)=(2,2),(6,2),

因此 p=2,6

解法二    按 p 的正负分类讨论,过 BBHlH,则 BAH=30,进而 BH=12AB=BM,作以 B 为圆心 BH 为半径的圆与 x 轴交于 M 以及另一点(记为 N),此时抛物线 C 的焦点为 M,N 两点中的某一点.

情形一     p>0.如左图,若 M 为焦点,则 p=2;若 N 为焦点,设 H,Bx 轴上的投影分别为 H,B,则由 N 的横坐标大于 B 的横坐标,可得 NH 的中点 OBH 的中点 M 的右侧,矛盾.

情形二    p<0.如右图,此时 M 不可能为焦点;若 N 为焦点,设 AHx 轴的交点为 E,则 EM=p21MN=p2+1,此时有 MN=BM=BH=2ME,于是p2+1=2(p21),

解得 p=6

综上所述,p=2,6

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[2556]小心讨论》有一条回应

  1. 猴子派来的说:

    七周年,撒花~

发表回复