已知抛物线 C:y2=2px 的准线为 l,过点 M(1,0) 且倾斜角为 60∘ 的直线 m 与直线 l 交于点 A,B 为抛物线 C 上一点,且满足 →AM=→MB,则 p= _______.
答案 2,−6.
解析
解法一 由 →AM=→MB 以及直线 m 的倾斜角为 60∘,可设 A(1+t,√3t),B(1−t,−√3t),则{1+t=−p2,(−√3t)2=2p(1−t),⟺(p,t)=(2,−2),(−6,2),
因此 p=2,−6.
解法二 按 p 的正负分类讨论,过 B 作 BH⊥l 于 H,则 ∠BAH=30∘,进而 BH=12AB=BM,作以 B 为圆心 BH 为半径的圆与 x 轴交于 M 以及另一点(记为 N),此时抛物线 C 的焦点为 M,N 两点中的某一点.
情形一 p>0.如左图,若 M 为焦点,则 p=2;若 N 为焦点,设 H,B 在 x 轴上的投影分别为 H′,B′,则由 N 的横坐标大于 B 的横坐标,可得 NH′ 的中点 O 在 B′H′ 的中点 M 的右侧,矛盾.
情形二 p<0.如右图,此时 M 不可能为焦点;若 N 为焦点,设 AH 与 x 轴的交点为 E,则 EM=−p2−1,MN=−p2+1,此时有 MN=BM=BH=2ME,于是−p2+1=2(−p2−1),
解得 p=−6.
综上所述,p=2,−6.
七周年,撒花~