每日一题[2556]小心讨论

已知抛物线 $C:y^2=2px$ 的准线为 $l$，过点 $M(1,0)$ 且倾斜角为 $60^\circ$ 的直线 $m$ 与直线 $l$ 交于点 $A$，$B$ 为抛物线 $C$ 上一点，且满足 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$，则 $p=$ _______．

答案    $2,-6$．

解析    

解法一    由 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ 以及直线 $m$ 的倾斜角为 $60^\circ$，可设 $A(1+t,\sqrt 3t)$，$B(1-t,-\sqrt 3t)$，则\[\begin{cases} 1+t=-\dfrac p2,\\ (-\sqrt 3t)^2=2p(1-t),\end{cases}\iff (p,t)=(2,-2),(-6,2),\]因此 $p=2,-6$．

解法二    按 $p$ 的正负分类讨论，过 $B$ 作 $BH\perp l$ 于 $H$，则 $\angle BAH=30^\circ$，进而 $BH=\dfrac 12AB=BM$，作以 $B$ 为圆心 $BH$ 为半径的圆与 $x$ 轴交于 $M$ 以及另一点（记为 $N$），此时抛物线 $C$ 的焦点为 $M,N$ 两点中的某一点．

情形一     $p>0$．如左图，若 $M$ 为焦点，则 $p=2$；若 $N$ 为焦点，设 $H,B$ 在 $x$ 轴上的投影分别为 $H',B'$，则由 $N$ 的横坐标大于 $B$ 的横坐标，可得 $NH'$ 的中点 $O$ 在 $B'H'$ 的中点 $M$ 的右侧，矛盾．

情形二    $p<0$．如右图，此时 $M$ 不可能为焦点；若 $N$ 为焦点，设 $AH$ 与 $x$ 轴的交点为 $E$，则 $EM=\dfrac{-p}2-1$，$MN=\dfrac{-p}2+1$，此时有 $MN=BM=BH=2ME$，于是\[\dfrac{-p}2+1=2\left(\dfrac{-p}2-1\right),\]解得 $p=-6$．

综上所述，$p=2,-6$．