每日一题[2553]求和不断

设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，已知 $a_{1}=3$，$S_{3}=5 a_{1}$．

1、求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．

2、设 $b_{n}=1+\dfrac{2}{S_{n}}$，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$．定义 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[0.3]=0$，$[1.5]=1$．当 $\left[T_{1}\right]+\left[T_{2}\right]+\cdots+\left[T_{n}\right]=63$ 时，求 $n$ 的值．

解析

1、根据题意，有 $3a_3=15$，于是 $a_3=5$，从而 $a_n=2n-1$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有

$$b_n=1+\dfrac2{n(n+2)}=1+\dfrac 1n-\dfrac1{n+2},$$ 于是 $$T_n=n+1+\dfrac 12-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2},$$ 因此 $$[T_n]=\begin{cases} 1,&n=1,\\ 2,&n=2,\\ n+1,&n\geqslant 3,\end{cases}$$ 记 $\{[T_n]\}$ 的前 $n$ 项和为 $R_n$，则 $$R_n=\begin{cases} 1,&n=1,\\ 3,&n=2,\\ \dfrac{(n+4)(n-1)}2,&n\geqslant 3.\end{cases}$$ 因此当 $R_n=63$ 时，有 $n=10$．