每日一题[2550]金屋藏娇

已知三棱锥 $P-ABC$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上，$PA=PB=PC$，$\triangle ABC$ 是边长为 $2$ 的正三角形，$E,F$ 分别是 $AC,BC$ 的中点，$\angle EPF=60^\circ$，则球 $O$ 的表面积为_______．

答案    $6\pi$．

解析    设 $AB$ 的中点为 $G$，则根据题意，$P-EFG$ 是棱长为 $1$ 的正四面体，其高为 $\dfrac{\sqrt 6}3$．设球 $O$ 的半径为 $r$，底面中心为 $O'$，则 $|O'A|=\dfrac{2}{\sqrt 3}$，因此

$$|OO'|^2+|O'A|^2=|OC|^2\implies \left(\dfrac{\sqrt6}3-r\right)^2+\left(\dfrac{2}{\sqrt 3}\right)^2=r^2\implies r=\dfrac{3}{\sqrt6},$$ 因此所求表面积为 $4\pi r^2=6\pi$．