每日一题[2548]直取要害

若 $\sin \theta+\cos\theta=\dfrac 75$，且 $\tan \theta<1$，则 $\sin\theta=$_______．

答案    $\dfrac 35$．

解析    根据题意，有

$$\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac 7{5\sqrt 2}\implies \theta=\arcsin\dfrac7{5\sqrt 2}-\dfrac{\pi}4+2k\pi\lor \theta=-\arcsin\dfrac7{5\sqrt 2}+\dfrac{3\pi}4+2k\pi,$$ 其中 $k\in\mathbb Z$．注意到 $\arcsin\dfrac7{5\sqrt 2}$ 是一个接近 $\dfrac{\pi}2$ 的锐角，因此由 $\tan\theta<1$，可得 $$\theta=\arcsin\dfrac7{5\sqrt 2}-\dfrac{\pi}4+2k\pi,k\in\mathbb Z,$$ 进而 $$\sin\theta=\sin\left(\arcsin\dfrac7{5\sqrt 2}-\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{7}{5\sqrt 2}\cdot \dfrac{\sqrt 2}2-\dfrac{1}{5\sqrt 2}\cdot \dfrac{\sqrt 2}2=\dfrac 35.$$