已知 $x,y\geqslant 0$，$x^{2019}+y=1$，求证：$x+y^{2019}>1-\dfrac 1{300}$．（参考数据：$\ln 2019\approx 7.610$．）
解析 记 $n=2019$，$f(x)=x+(1-x^n)^n$，则欲证不等式即函数 $f(x)$ 在 $x\in [0,1]$ 上的最小值大于 $1-\dfrac{1}{300}$．函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=1-n^2x^{n-1}(1-x^n)^{n-1},\]因此其极值点 $m$ 满足\[1-n^2m^{n-1}(1-m^n)^{n-1}=0\iff 1-m^n=\dfrac{n^{-\frac 2{n-1}}}{m},\]此时极值\[\begin{split} f(m)&=m+(1-m^n)^n\\ &=m+\dfrac{n^{-\frac{2n}{n-1}}}{m^n}\\ &=\underbrace{\dfrac mn+\dfrac mn+\cdots+\dfrac mn}_{n}+\dfrac{n^{-\frac{2n}{n-1}}}{m^n}\\ &\geqslant (n+1)\left(\dfrac{n^{-\frac{2n}{n-1}}}{n^n}\right)^{\frac{1}{n+1}}\\ &=\dfrac{n+1}{n}\cdot n^{-\frac{1}{n-1}},\end{split}\] 问题转化为证明\[\dfrac{2020}{2019}\cdot 2019^{-\frac{1}{2018}}>1-\dfrac{1}{300},\]也即\[-\dfrac{1}{2018}\ln 2019>\ln\left(1-\dfrac{1}{2020}\right)+\ln\left(1-\dfrac{1}{300}\right),\]注意到 $\ln x \leqslant x-1$，因此\[\ln\left(1-\dfrac{1}{2020}\right)+\ln\left(1-\dfrac{1}{300}\right)\leqslant -\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{300},\]问题转化为证明\[\ln 2019<\dfrac{2018}{2020}+\dfrac{2018}{300},\]事实上，有\[\dfrac{2018}{2020}+\dfrac{2018}{300}>\dfrac{1998}{2000}+\dfrac{2016}{300}=0.999+6.72=7.719>\ln 2019,\]命题得证．
备注 一般的，若 $x^n+y=1$，则 $x+y^n>1-\dfrac{\ln n}{n-1}$．