已知 x,y⩾0，x2019+y=1，求证：x+y2019>1−1300．（参考数据：ln2019≈7.610．）
解析 记 n=2019，f(x)=x+(1−xn)n，则欲证不等式即函数 f(x) 在 x∈[0,1] 上的最小值大于 1−1300．函数 f(x) 的导函数f′(x)=1−n2xn−1(1−xn)n−1,因此其极值点 m 满足1−n2mn−1(1−mn)n−1=0⟺1−mn=n−2n−1m,此时极值f(m)=m+(1−mn)n=m+n−2nn−1mn=mn+mn+⋯+mn⏟n+n−2nn−1mn⩾(n+1)(n−2nn−1nn)1n+1=n+1n⋅n−1n−1, 问题转化为证明20202019⋅2019−12018>1−1300,也即−12018ln2019>ln(1−12020)+ln(1−1300),注意到 lnx⩽x−1，因此ln(1−12020)+ln(1−1300)⩽−12020−1300,问题转化为证明ln2019<20182020+2018300,事实上，有20182020+2018300>19982000+2016300=0.999+6.72=7.719>ln2019,命题得证．
备注 一般的，若 xn+y=1，则 x+yn>1−lnnn−1．