每日一题[2542]差分复差分

已知正项数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $\displaystyle S_n^2=\sum_{i=1}^na_i^3$．

1、求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．

2、求证：$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{\sqrt k}{a_k^2}<3$．

解析

1、当 $n=1$ 时，可得

$$a_1^2=a_1^3\iff a_1=1,$$ 当 $n\geqslant 2$ 时，有 $$S_n^2-S_{n-1}^2=a_n^3\iff (S_n-S_{n-1})(S_n+S_{n-1})=a_n^3,$$ 于是 $$S_n+S_{n-1}=a_n^2.$$ 当 $n=2$ 时，有 $$S_2+S_1=a_2^2\iff 2+a_2=a_2^2\iff a_2=2,$$ 当 $n\geqslant 3$ 时，有 $$a_n+a_{n-1}=a_n^2-a_{n-1}^2\iff a_n-a_{n-1}=1,$$ 因此 $\{a_n\}$ 的首项为 $1$ 公差为 $1$ 的等差数列，进而 $a_n=n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有

$$LHS=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{k^3}}\leqslant 1+\sum_{k=2}^n\left(\dfrac{2}{\sqrt{k-\dfrac 12}}-\dfrac{2}{\sqrt{k+\dfrac 12}}\right)=1+\dfrac{2\sqrt 6}3<3,$$ 命题得证．