每日一题[2541]一箭双雕

已知定长为 $4$ 的线段 $AB$ 的两端点，分别在两条相交直线 $x\pm 2y=0$ 上移动． 设线段 $AB$ 的中点为 $G$，

1、求点 $G$ 的轨迹 $C$ 的方程．

2、若由点 $P$ 向曲线 $C$ 作出的两条切线互相垂直，求证：动点 $P$ 在定圆上．

解析

1、根据椭圆的相交直线定义，$C$ 为椭圆，设方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$），则

$$\begin{cases} \sqrt{\dfrac ba}=\dfrac 12,\\ 2\sqrt{ab}=4,\end{cases}\iff \begin{cases} a=4,\\ b=1,\end{cases}$$ 因此所求轨迹 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{16}+y^2=1$．

2、根据椭圆的蒙日圆性质即得动点 $P$ 在定圆 $x^2+y^2=17$ 上．