每日一题[147] 图象间的“距离”

2015年高考数学天津卷理科第8题(选择压轴题):

已知函数\(f(x)=\begin{cases}2-|x|,&x\leqslant 2,\\(x-2)^2,&x>2,\end{cases}\)函数\(g(x)=b-f(2-x)\),其中\(b\in\mathcal R\).若函数\(y=f(x)-g(x)\)恰有\(4\)个零点,则\(b\)的取值范围是(        )

A.\(\left(\dfrac 74,+\infty\right)\)

B.\(\left(-\infty,\dfrac 74\right)\)

C.\(\left(0,\dfrac 74\right)\)

D.\(\left(\dfrac 74,2\right)\)


cover正确答案是D.

首先画出\(y=f(x)\)的图象\(C\),然后画出其关于点\((1,0)\)对称的图象\(C'\),即函数\(y=-f(2-x)\)的图象.于是问题转化为使得图象\(C\)与图象\(C'\)的“距离”为\(b\)的点恰好有\(4\)处.

QQ20150612-2分\(x<0\)、\(0\leqslant x\leqslant 2\)、\(x>2\)三段考虑,不难求得在第一、三段图象\(C\)与\(C'\)的“距离”最小值为\(\dfrac 74\),而在第二段,图象\(C\)与\(C'\)的“距离”恒为\(2\),进而可以绘制测量结果,如图.

QQ20150620-6@2x

因此函数\(y=f(x)-g(x)\)恰有\(4\)个零点时,\(b\)的取值范围是\(\left(\dfrac 74,2\right)\).

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