每日一题[147] 图象间的“距离”

2015年高考数学天津卷理科第8题（选择压轴题）：

已知函数$f(x)=\begin{cases}2-|x|,&x\leqslant 2,\\(x-2)^2,&x>2,\end{cases}$函数$g(x)=b-f(2-x)$，其中$b\in\mathcal R$．若函数$y=f(x)-g(x)$恰有$4$个零点，则$b$的取值范围是（        ）

A．$\left(\dfrac 74,+\infty\right)$

B．$\left(-\infty,\dfrac 74\right)$

C．$\left(0,\dfrac 74\right)$

D．$\left(\dfrac 74,2\right)$

正确答案是D．

首先画出$y=f(x)$的图象$C$，然后画出其关于点$(1,0)$对称的图象$C'$，即函数$y=-f(2-x)$的图象．于是问题转化为使得图象$C$与图象$C'$的“距离”为$b$的点恰好有$4$处．

分$x<0$、$0\leqslant x\leqslant 2$、$x>2$三段考虑，不难求得在第一、三段图象$C$与$C'$的“距离”最小值为$\dfrac 74$，而在第二段，图象$C$与$C'$的“距离”恒为$2$，进而可以绘制测量结果，如图．

因此函数$y=f(x)-g(x)$恰有$4$个零点时，$b$的取值范围是$\left(\dfrac 74,2\right)$．