每日一题[2538]观察形式

已知正项数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $\{a_n\},\left\{\sqrt{S_n}\right\}$ 均是公差为 $d$ 的等差数列，则 $S_n=$_______．

答案    $\dfrac 14n^2$．

解析    根据题意，设

$$a_n=dn+A,\quad \sqrt{S_n}=dn+B,$$ 则 $$S_n=d^2n^2+2dBn+B^2,$$ 根据等差数列前 $n$ 项和的代数特征，有 $$\begin{cases} d^2=\dfrac d2,\\ B=0,\end{cases}\implies S_n=\dfrac 14n^2.$$

备注    $a_n=\dfrac{2n-1}4$．