如图,椭圆 C1:x24+y2=1,抛物线 C2:x2=2py(p>0),设 C1,C2 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点.
1、若 △ABO 的外心在椭圆上,求实数 p 的值.
2、若 △ABO 的外接圆经过点 N(0,132),求实数 p 的值.
解析
1、设 △ABO 的外接圆半径为 r,则根据图形的对称性,有 N(0,r),设 A(2pt,2pt2),则{(2pt)24+(2pt2)2=1,(2pt)2+(2pt2−r)2=r2,⟺{t2=−p+√16+p28p,t2=r−pp,⟹p=7r−√12+r26.
若 △ABO 的外心在椭圆上,则 r=1,进而 p=7−√136.
2、根据第 (1) 小题的结论,若 △ABO 的外接圆经过点 N(0,134),则 r=132,于是 p=3.