每日一题[2532]一石二鸟

如图，椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}4+y^2=1$，抛物线 $C_2:x^2=2py$（$p>0$），设 $C_1,C_2$ 相交于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点．

1、若 $\triangle ABO$ 的外心在椭圆上，求实数 $p$ 的值．

2、若 $\triangle ABO$ 的外接圆经过点 $N\left(0,\dfrac{13}2\right)$，求实数 $p$ 的值．

解析

1、设 $\triangle ABO$ 的外接圆半径为 $r$，则根据图形的对称性，有 $N(0,r)$，设 $A(2pt,2pt^2)$，则 $$\begin{cases} \dfrac{(2pt)^2}{4}+(2pt^2)^2=1,\\ (2pt)^2+(2pt^2-r)^2=r^2,\end{cases}\iff \begin{cases} t^2=\dfrac{-p+\sqrt{16+p^2}}{8p},\\ t^2=\dfrac{r-p}{p},\end{cases}\implies p=\dfrac{7r-\sqrt{12+r^2}}{6}.$$ 若 $\triangle ABO$ 的外心在椭圆上，则 $r=1$，进而 $p=\dfrac{7-\sqrt{13}}6$．

2、根据第 $(1)$ 小题的结论，若 $\triangle ABO$ 的外接圆经过点 $N\left(0,\dfrac{13}4\right)$，则 $r=\dfrac{13}2$，于是 $p=3$．