每日一题[2532]一石二鸟

如图,椭圆 C1:x24+y2=1,抛物线 C2:x2=2pyp>0),设 C1,C2 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点.

1、若 ABO 的外心在椭圆上,求实数 p 的值.

2、若 ABO 的外接圆经过点 N(0,132),求实数 p 的值.

解析

1、设 ABO 的外接圆半径为 r,则根据图形的对称性,有 N(0,r),设 A(2pt,2pt2),则{(2pt)24+(2pt2)2=1,(2pt)2+(2pt2r)2=r2,{t2=p+16+p28p,t2=rpp,p=7r12+r26.

ABO 的外心在椭圆上,则 r=1,进而 p=7136

2、根据第 (1) 小题的结论,若 ABO 的外接圆经过点 N(0,134),则 r=132,于是 p=3

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