每日一题[2526]双层嵌套

已知 $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x-1}}{x}-a x+a \ln x$，其中 $a \in \mathbb{R}$．

1、当 $a=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间．

2、当 $x>0$ 时，$f(x) \geqslant 0$，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、当 $a=\dfrac{1}{\rm e}$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{\left({\rm e}^x-x\right)(x-1)}{{\rm e}x^2},$$ 我们熟知 ${\rm e}^x\geqslant x+1$，因此 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(1,+\infty)$，单调递减区间是 $(0,1)$．

2、我们熟知 $x-\ln x\geqslant 1$，因此根据题意，有

$$\forall x>0,f(x)\geqslant 0\iff \forall x>0,a\leqslant \dfrac{{\rm e}^{x-1}}{x(x-\ln x)},$$ 也即 $$\forall x>0,a\leqslant \dfrac{\frac{{\rm e}^x}{x}}{\ln \frac {{\rm e}^x}{x}}\cdot \dfrac{1}{\rm e},$$ 设 $g(x)=\dfrac{x}{\ln x}$，题意即 $$\forall x>0,a\leqslant \dfrac{1}{\rm e}\cdot g\left(g\left({\rm e}^x\right)\right),$$ 利用导函数研究函数 $g(x)$ 可得当 $x>1$ 时，$g(x)$ 在 $x={\rm e}$ 处取得最小值 ${\rm e}$，因此 $g\left(g\left({\rm e}^x\right)\right)$ 的最小值为 ${\rm e}$，当 $x=1$ 时取得，进而可得实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,1\right]$．