每日一题[2520]指数处理

关于函数 $f(x)=\dfrac{2\left(x^{3}-x\right)}{\mathrm{e}^{|x|}+x^{2}}$（$-10 \leqslant x \leqslant 10$），正确的描述有（       ）

A．是奇函数

B．是偶函数

C．有 $2$ 个极大值点

D．有 $3$ 个零点

答案    ACD．

解析    根据题意，函数 $f(x)$ 是奇函数，当 $x\geqslant 0$ 时，有 $$f(x)=\dfrac{2(x^3-x)}{{\rm e}^x+x^2},$$ 其导函数 $$f'(x)=\dfrac{2\left((x^2+x^4)+{\rm e}^x\cdot(-1+x+3x^2-x^3)\right)}{({\rm e}^x+x^2)^2},$$ 设 $g(x)=1+{\rm e}^x\cdot \dfrac{-1+x+3x^2-x^3}{x^2+x^4}$，则其导函数 $$g'(x)=-\dfrac{{\rm e}^x(x-1)(x+1)(x^4-4x^3+7x^2-2x+2)}{x^3(1+x^2)^2}.$$ 注意到 $$x^4-4x^3+7x^2-2x+2=(x-1)^4+(x+1)^2>0,$$ 从而 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，有 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0&(0,1)&1&(1,+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&-\infty&\nearrow&1+{\rm e}&\searrow&-\infty\\ \hline \end{array}$$ 从而 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上均有零点（每个区间各一个），分别记为 $m,n$（$0<m<1<n$）．结合函数 $f(x)$ 的奇偶性，可得函数 $f(x)$ 有 $2$ 个极大值点 $x=n,-m$，$2$ 个极小值点 $x=m,-n$． 注意到 $$f(0)=f(1)=\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0,$$ 可得函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上恒负，在 $(1,+\infty)$ 上恒正，结合奇偶性可得函数 $f(x)$ 共有 $3$ 个零点．