每日一题[2519]圆幂定理

已知圆 $C: x^{2}+y^{2}-8 x-4 y+19=0$，直线 $l: 3 x-2 y-6=0$，直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，设点 $P(2,0)$，则 $|P A| \cdot|P B|=$ （       ）

A．$\sqrt{3}$

B．$\sqrt{5}$

C．$5$

D．$7$

答案   D．

解析    圆 $C:(x-4)^2+(y-2)^2=1$ 的圆心为 $C(4,2)$，半径 $r=1$．注意到 $P$ 在直线 $l$ 上，因此根据圆幂定理，有

$$|PA|\cdot |PB|=\left|\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}\right|=\left|PC^2-r^2\right|=7.$$