每日一题[2517]大胆猜想小心求证

已知函数 $f(x)=2|x+1|-|x-2|$．

1、求不等式 $f(x) \leqslant 0$ 的解集．

2、设 $g(x)=|3 x-a|$，若对于任意 $x \in \mathbb{R}$，都有 $g(x) \geqslant f(x)$，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的图象如图．

进而不等式 $f(x)\leqslant 0$ 的解集为 $[-4,0]$．

2、利用第 $(1)$ 小题得到的函数图象，注意到函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1),(-1,2),(2,+\infty)$ 上的斜率分别为 $-1,3,1$，$g(x)$ 在 $x=\dfrac a3$ 左右两侧的斜率分别为 $-3,3$，可得 $-4\leqslant \dfrac a3\leqslant 0$，解得 $a$ 的取值范围为 $[-12,0]$．

严格证明如下．

必要性      取 $x=\dfrac a3$，有 $f\left(\dfrac a3\right)\leqslant 0$，因此 $-12\leqslant a\leqslant 0$．

充分性      当 $-12\leqslant a\leqslant 0$ 时，按 $x<-4$，$-4\leqslant x\leqslant 0$，$x>0$ 三段分段证明．

当 $x<-4$ 时，有 $$g(x)\geqslant -3x+a\geqslant -3x-12\geqslant -2(x+1)+(x-2)=f(x).$$

当 $-4\leqslant x\leqslant 0$ 时，有 $$g(x)\geqslant 0\geqslant f(x).$$

当 $x>0$ 时，有 $$g(x)\geqslant 3x-a\geqslant 3x= 2|x+1|+(x-2)\geqslant f(x).$$

综上所述，$a$ 的取值范围为 $[-12,0]$．