每日一题[2507]对棱体积公式

在如图所示的五面体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，平面 $A D E \perp$ 平面 $A B C D$，$A B=E D=2 E F=2$，$\angle E A D=60^{\circ}$，$M$ 为棱 $F C$ 的中点．

1、证明：$A F\parallel M B D$．

2、求三棱锥 $E-F D B$ 的体积．

解析

1、连接 $AC$ 交 $BD$ 于 $O$，连接 $MO$ 如图．

根据题意，$M,O$ 分别为 $CF,CA$ 的中点，因此 $MO\parallel AF$，从而 $AF\parallel MBD$．

2、根据题意，所求三棱锥 $E-FDB$ 的体积

$$[EF-BD]=\dfrac 16\cdot |EF|\cdot |BD|\cdot \sin\langle EF,BD\rangle \cdot d(EF,BD)=\dfrac 16\cdot 1\cdot 2\sqrt 2\cdot \dfrac{\sqrt 2}2\cdot \sqrt 3=\dfrac{\sqrt 3}3.$$