每日一题[2505]到角公式

如图，在 $\triangle A B C$ 中，已知 $A B=2$，$A C=5$，$\cos \angle B A C=\dfrac{7}{20}$，$B C, A C$ 边上的两条中线 $A M, B N$ 相交于点 $P$，则 $\angle M P N$ 的余弦值为_______．

答案    $\dfrac{\sqrt 3}4$．

解析    设 $B$ 在 $AC$ 上的投影为 $H$，建立平面直角坐标系 $H-CB$，有 $B\left(0,\dfrac{3\sqrt{39}}{10}\right)$，$A\left(-\dfrac{7}{10},0\right)$，$C\left(\dfrac{43}{10},0\right)$，进而 $M\left(\dfrac{43}{20},\dfrac{3\sqrt{39}}{20}\right)$，$N\left(\dfrac 95,0\right)$，$P\left(\dfrac 65,\dfrac{\sqrt{39}}{10}\right)$，从而直线 $PN,PM$ 的斜率分别为

$$k_{PN}=-\dfrac{\sqrt{39}}6,\quad k_{PM}=\dfrac{\sqrt{39}}{19},$$ 因此根据到角公式，有 $$\tan\angle MPN=\dfrac{k_{PM}-k_{PN}}{1+k_{PM}\cdot k_{PN}}=\sqrt{\dfrac{13}3},$$ 因此 $\cos\angle MPN=\dfrac{\sqrt 3}4$．