每日一题[2500]几何意义

已知空间向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 两两的夹角均为 $60^{\circ}$，且 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=2$，$|\boldsymbol{c}|=6$．若向量 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ 分别满足 $\boldsymbol{x} \cdot(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=0$ 与 $\boldsymbol{y} \cdot \boldsymbol{c}-8=0$，则 $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|$ 的最小值是_______．

答案    $\dfrac 13$．

解析    设三面角 $O-ABC$ 的 $\angle AOB,\angle BOC,\angle COA$ 均为 $60^\circ$，$OA=2$，$OB=2$，$OC=6$，则 $\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol B$，$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol C$．设 $M$ 为 $OB$ 的中点，$A$ 关于 $M$ 的对称点为 $N$，则 $\overrightarrow{ON}=\boldsymbol b-\boldsymbol a$，$P$ 为 $OC$ 上一点且 $OP=\dfrac 43$，设 $\boldsymbol x=\overrightarrow{OS}$，$\boldsymbol y=\overrightarrow{OT}$，则 $S$ 在以 $ON$ 为直径的球 $K$ 上，$T$ 在过 $P$ 且与 $OC$ 垂直的平面 $\alpha$ 上．注意到球心 $K$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 $\dfrac 43$，球的半径为 $1$，因此 $|\boldsymbol x-\boldsymbol y|$ 的最小值为 $\dfrac 43-1=\dfrac 13$．