每日一题[2499]焦半径

已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的焦点 $F_{1}(-c, 0)$，$F_{2}(c, 0)$（$c>0$），过右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=b^{2}$ 相切于点 $P$，与椭圆相交于 $A,B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上方，且切点 $P$ 恰为线段 $A F_{2}$ 的中点，则椭圆的离心率为_______，直线 $l$ 的斜率为_______．

答案    $\dfrac{\sqrt 5}3$；$-2$．

解析    如图．

不妨设 $a=1$，椭圆的离心率为 $e$，则 $b=\sqrt{1-e^2}$，$c=e$，根据焦半径公式 $II$，有

$$\cos\angle PF_2O=\dfrac{|PF_2|}{|OF_2|}=\dfrac{\sqrt{2e^2-1}}e,$$ 因此 $$\dfrac{1-e^2}{1-\sqrt{2e^2-1}}=2\sqrt{2e^2-1},$$ 解得 $e=\dfrac{\sqrt 5}3$，进而直线 $l$ 的斜率为 $-\tan\angle PF_2O=-2$．