每日一题[2497]随遇而安

已知函数 $f(x)=\begin{cases}\ln x-1, &x\in[{\rm e},+\infty), \\ a x+b-\ln x, &x\in (0,{\rm e})\end{cases}$ 的最小值为 $0$，${\rm e}$ 为自然对数的底数，则（       ）

A．$\forall a<0$，都有 $b<1-a {\rm e}$

B．$\exists a<0$，使得 $b \leqslant 1$

C．$\forall a \in\left(\dfrac{1}{{\rm e}},+\infty\right)$，都有 $b+\ln (a {\rm e}) \geqslant 0$

D．$\exists a \in\left(0, \dfrac{1}{{\rm e}}\right]$，使得 $b<\ln (2-a {\rm e})$

答案    C．

解析    根据题意，有

$$\forall x\in (0,{\rm e}],ax+b-\ln x\geqslant 0,$$ 函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=a-\dfrac 1x,$$ 因此讨论分界点为 $a=\dfrac{1}{\rm e}$． 当 $a<\dfrac{1}{\rm e}$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,{\rm e}]$ 上单调递减，因此题意即 $$f({\rm e})\geqslant 0\iff b\geqslant 1-a{\rm e}.$$ 当 $a\geqslant \dfrac{1}{\rm e}$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x=\dfrac 1a$ 处取得极小值，也为该区间上的最小值，因此题意即 $$f\left(\dfrac 1a\right)\geqslant 0\iff b\geqslant -1-\ln a.$$ 综上所述，只有选项 $\boxed{C}$ 正确．