每日一题[2497]随遇而安

已知函数 f(x)={lnx1,x[e,+),ax+blnx,x(0,e) 的最小值为 0e 为自然对数的底数,则(       )

A.a<0,都有 b<1ae

B.a<0,使得 b

C.\forall a \in\left(\dfrac{1}{{\rm e}},+\infty\right),都有 b+\ln (a {\rm e}) \geqslant 0

D.\exists a \in\left(0, \dfrac{1}{{\rm e}}\right],使得 b<\ln (2-a {\rm e})

答案    C.

解析    根据题意,有\forall x\in (0,{\rm e}],ax+b-\ln x\geqslant 0, 函数 f(x) 的导函数f'(x)=a-\dfrac 1x,因此讨论分界点为 a=\dfrac{1}{\rm e}. 当 a<\dfrac{1}{\rm e} 时,函数 f(x)(0,{\rm e}] 上单调递减,因此题意即f({\rm e})\geqslant 0\iff b\geqslant 1-a{\rm e}.a\geqslant \dfrac{1}{\rm e} 时,函数 f(x)x=\dfrac 1a 处取得极小值,也为该区间上的最小值,因此题意即f\left(\dfrac 1a\right)\geqslant 0\iff b\geqslant -1-\ln a. 综上所述,只有选项 \boxed{C} 正确.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复