已知函数 f(x)={lnx−1,x∈[e,+∞),ax+b−lnx,x∈(0,e) 的最小值为 0,e 为自然对数的底数,则( )
A.∀a<0,都有 b<1−ae
B.∃a<0,使得 b⩽
C.\forall a \in\left(\dfrac{1}{{\rm e}},+\infty\right),都有 b+\ln (a {\rm e}) \geqslant 0
D.\exists a \in\left(0, \dfrac{1}{{\rm e}}\right],使得 b<\ln (2-a {\rm e})
答案 C.
解析 根据题意,有\forall x\in (0,{\rm e}],ax+b-\ln x\geqslant 0, 函数 f(x) 的导函数f'(x)=a-\dfrac 1x,因此讨论分界点为 a=\dfrac{1}{\rm e}. 当 a<\dfrac{1}{\rm e} 时,函数 f(x) 在 (0,{\rm e}] 上单调递减,因此题意即f({\rm e})\geqslant 0\iff b\geqslant 1-a{\rm e}. 当 a\geqslant \dfrac{1}{\rm e} 时,函数 f(x) 在 x=\dfrac 1a 处取得极小值,也为该区间上的最小值,因此题意即f\left(\dfrac 1a\right)\geqslant 0\iff b\geqslant -1-\ln a. 综上所述,只有选项 \boxed{C} 正确.