每日一题[2496]心脏曲线

已知曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}+y^{2}=4+|y| \cdot x$，则下面结论中正确的是
（       ）

A．曲线 $C$ 关于直线 $y=x$ 对称

B．曲线 $C$ 的范围是 $|y| \leqslant 2$ 且 $|x| \leqslant 2$

C．曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $2 \sqrt{2}$

D．曲线 $C$ 所围成区域的面积小于 $12$

答案    C．

解析    题中方程即

$$|y|=\dfrac{ x+\sqrt{16-3x^2}}2,-2\leqslant x\leqslant \dfrac{4}{\sqrt 3},$$ 以及 $$|y|=\dfrac{x-\sqrt{16-3x^2}}2,2\leqslant x\leqslant \dfrac{4}{\sqrt 3}.$$ 曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称，不关于直线 $y=x$ 对称，$x,y$ 的取值范围均为 $\left[-2,\dfrac{4}{\sqrt 3}\right]$，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ 错误． 根据均值不等式，有 $$x^2+y^2=4+|y|\cdot x\leqslant 4+\dfrac{x^2+y^2}2\implies x^2+y^2\leqslant 8,$$ 因此曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $2\sqrt 2$（且当 $(x,y)=(2,\pm 2)$ 时取得 $2\sqrt 2$），选项 $\boxed{C}$ 正确．

考虑图中阴影部分，其面积为 $12$，且在曲线 $C$ 内部，因此曲线 $C$ 所围成的区域面积大于 $12$，选项 $\boxed{D}$ 错误．