每日一题[2491]绝对值的意义

已知 y=|asinθ+bcosθ|+|bsinθacosθ1| 的最大值为 11,则 a2+b2= (       )

A.25

B.50

C.100

D.以上答案都不对

答案    B.

根据题意,有y=|asinθ+bcosθ|+|bsinθacosθ1|1+|asinθ+bcosθ|+|bsinθacosθ|1+2(asinθ+bcosθ)2+(bsinθacosθ)2=1+2a2+b2,

等号当 bsinθacosθ0|asinθ+bcosθ|=|bsinθacosθ| 时取得.考虑互相垂直的直线 l1:byax=0l2:ay+bx=0,取等条件即点 P(cosθ,sinθ) 取其中使得 byax<0 的那一侧且在 l1,l2 的角平分线(互相垂直的两条直线)上即可.因此1+2a2+b2=11a2+b2=50.

备注    也可考虑几何意义:根据题意,单位圆上一点 P(cosθ,sinθ) 到直线 l1:bx+ay=0 和直线 l2:axby+1=0 的距离之和的最大值为 11r.直线 l1 与直线 l2 互相垂直,且直线 l1 过原点 O,原点到直线 l2 的距离为 1r,其中 r=a2+b2

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