每日一题[2491]绝对值的意义

已知 $y=|a\sin\theta+b\cos\theta|+|b\sin\theta-a\cos\theta-1|$ 的最大值为 $11$，则 $a^2+b^2=$ （       ）

A．$25$

B．$50$

C．$100$

D．以上答案都不对

答案    B．

根据题意，有 $$\begin{split} y&=|a\sin\theta+b\cos\theta|+|b\sin\theta-a\cos\theta-1|\\ &\leqslant 1+|a\sin\theta+b\cos\theta|+|b\sin\theta-a\cos\theta|\\ &\leqslant 1+\sqrt 2\cdot \sqrt{(a\sin\theta+b\cos\theta)^2+(b\sin\theta-a\cos\theta)^2}\\ &=1+\sqrt 2\cdot \sqrt{a^2+b^2}, \end{split}$$ 等号当 $b\sin\theta-a\cos\theta\leqslant 0$ 且 $|a\sin\theta+b\cos\theta|=|b\sin\theta-a\cos\theta|$ 时取得．考虑互相垂直的直线 $l_1:by-ax=0$ 和 $l_2:ay+bx=0$，取等条件即点 $P(\cos\theta,\sin\theta)$ 取其中使得 $by-ax<0$ 的那一侧且在 $l_1,l_2$ 的角平分线（互相垂直的两条直线）上即可．因此 $$1+\sqrt 2\cdot \sqrt{a^2+b^2}=11\implies a^2+b^2=50.$$

备注    也可考虑几何意义：根据题意，单位圆上一点 $P(\cos\theta,\sin\theta)$ 到直线 $l_1:bx +ay =0$ 和直线 $l_2:ax-by +1=0$ 的距离之和的最大值为 $\dfrac{11}r$．直线 $l_1$ 与直线 $l_2$ 互相垂直，且直线 $l_1$ 过原点 $O$，原点到直线 $l_2$ 的距离为 $\dfrac{1}{r}$，其中 $r=\sqrt{a^2+b^2}$．