已知 y=|asinθ+bcosθ|+|bsinθ−acosθ−1| 的最大值为 11,则 a2+b2= ( )
A.25
B.50
C.100
D.以上答案都不对
答案 B.
根据题意,有y=|asinθ+bcosθ|+|bsinθ−acosθ−1|⩽1+|asinθ+bcosθ|+|bsinθ−acosθ|⩽1+√2⋅√(asinθ+bcosθ)2+(bsinθ−acosθ)2=1+√2⋅√a2+b2,
等号当 bsinθ−acosθ⩽0 且 |asinθ+bcosθ|=|bsinθ−acosθ| 时取得.考虑互相垂直的直线 l1:by−ax=0 和 l2:ay+bx=0,取等条件即点 P(cosθ,sinθ) 取其中使得 by−ax<0 的那一侧且在 l1,l2 的角平分线(互相垂直的两条直线)上即可.因此1+√2⋅√a2+b2=11⟹a2+b2=50.
备注 也可考虑几何意义:根据题意,单位圆上一点 P(cosθ,sinθ) 到直线 l1:bx+ay=0 和直线 l2:ax−by+1=0 的距离之和的最大值为 11r.直线 l1 与直线 l2 互相垂直,且直线 l1 过原点 O,原点到直线 l2 的距离为 1r,其中 r=√a2+b2.