每日一题[2488]逐差累加

数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1}=a_{2}=a_{3}=1$．令 $b_{n}=a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}$（$n \in \mathbb{N}^{*}$）．若 $\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 $3$ 的等比数列，求 $a_{100}$ 的值．

答案    $\dfrac{3^{100}+10}{13}$．

解析    根据题意，有 $b_1=3$，进而 $b_n=3^n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），而

$$\begin{cases} b_{n+1}=a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3},\\ b_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2},\end{cases}\implies b_{n+1}-b_n=a_{n+3}-a_n,$$ 于是 $$a_{n+3}-a_n=2\cdot 3^n,$$ 因此 $$a_{100}=2\cdot 3^{97}+2\cdot 3^{94}+\cdots+2\cdot 3^{1}+a_1=\dfrac{3^{100}+10}{13}.$$

备注    一般的，当 $n$ 模 $3$ 余 $r$（$r\in \{0,1,2\}$）时，有

$$a_n=\dfrac{3^n+(13-3^r)}{13}.$$