数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1}=a_{2}=a_{3}=1$．令 $b_{n}=a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}$（$n \in \mathbb{N}^{*}$）．若 $\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 $3$ 的等比数列，求 $a_{100}$ 的值．
答案 $\dfrac{3^{100}+10}{13}$．
解析 根据题意，有 $b_1=3$，进而 $b_n=3^n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），而\[\begin{cases} b_{n+1}=a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3},\\ b_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2},\end{cases}\implies b_{n+1}-b_n=a_{n+3}-a_n,\]于是\[a_{n+3}-a_n=2\cdot 3^n,\]因此\[a_{100}=2\cdot 3^{97}+2\cdot 3^{94}+\cdots+2\cdot 3^{1}+a_1=\dfrac{3^{100}+10}{13}.\]
备注 一般的，当 $n$ 模 $3$ 余 $r$（$r\in \{0,1,2\}$）时，有\[a_n=\dfrac{3^n+(13-3^r)}{13}.\]