每日一题[2486]双曲线的参数弦

已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1$ 和 $F_2$，点 $O$ 为坐标原点．若双曲线 $C$ 上有一点 $P$，使得直线 $PF_1$ 和直线 $PF_2$ 分别交双曲线 $C$ 于点 $M,N$，且满足 $OP\perp MN$，则双曲线 $C$ 的离心率 $e=$ _______．

答案    $\sqrt 3$．

解析    根据双曲线的参数弦方程的相关结论，设 $P,M,N$ 对应的参数分别是 $2\theta,2\alpha,2\beta$，则

$$\begin{cases} \tan\alpha\tan\theta=\dfrac{a+c}{a-c},\\ \tan\beta\tan\theta=\dfrac{a-c}{a+c},\\ \left(\dfrac ba\cdot \dfrac{1+\tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}\right)\cdot \left(\dfrac ba\cdot \sin2\theta\right)=-1,\end{cases}$$ 记 $\tan\theta=\dfrac 1t$，$\dfrac{a+c}{a-c}=\lambda$，则 $$\tan\alpha=\lambda t,\quad \tan\beta=\dfrac t{\lambda },$$ 代入第三个等式可得 $$\dfrac{b^2}{a^2}\cdot \dfrac{1+t^2}{t\left(\lambda+\dfrac1{\lambda }\right)}\cdot \dfrac{2t}{1+t^2}=-1\iff \lambda +\dfrac1{\lambda }=-\dfrac{2b^2}{a^2},$$ 也即 $$\dfrac{1+e}{1-e}+\dfrac{1-e}{1+e}=2(1-e^2)\iff 1+e^2=(1-e^2)^2,$$ 解得 $e=\sqrt 3$．