每日一题[2485]标准方程

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知拋物线 $y=a x^{2}-3 x+3$（$a \neq 0$）的图像与抛物线 $y^{2}=2 p x$（$p>0$）的图像关于直线 $y=x+m$ 对称，则实数 $a,p,m$ 的乘积为_______．

答案    $-3$．

解析    抛物线 $y=ax^2-3x+3$，即

$$\left(x-\dfrac{3}{2a}\right)^2=\dfrac 1a\left(y+\dfrac{9-12a}{4a}\right),$$ 因此 $\dfrac 1a=2p$，该方程即 $$(x-3p)^2=2p\left(y+\dfrac 92p-3\right),$$ 顶点坐标为 $\left(3p,-\dfrac 92p+3\right)$．而 $y^2=2px$ 的顶点为 $(0,0)$，关于 $y=x+m$ 对称的点为 $(-m,m)$，从而 $$\begin{cases} 3p=-m,\\ -\dfrac 92p+3=m,\end{cases}\iff \begin{cases} m=-6,\\ p=2,\end{cases}$$ 因此 $$apm=\dfrac 14\cdot 2\cdot (-6)=-3.$$