每日一题[2482]面积坐标

在平面直角坐标系中，函数 $y=\dfrac{x+1}{|x|+1}$ 的图像上有三个不同的点位于直线 $l$ 上，且这三点的横坐标之和为 $0$．求直线 $l$ 的斜率的取值范围．

答案    $\left(0,\dfrac 29\right)$．

解析    题中函数即 $$y=\begin{cases} \dfrac{x+1}{-x+1},&x<0,\\ 1,&x\geqslant 0,\end{cases}$$ 因此直线 $l$ 与函数 $y=\dfrac{x+1}{|x|+1}$ 的图像在 $x<0$ 的部分有 $2$ 个公共点，在 $x\geqslant 0$ 的部分有 $1$ 个公共点．因此可设这三个公共点分别为 $$A\left(-a,\dfrac{-a+1}{a+1}\right),\quad B\left(-b,\dfrac{-b+1}{b+1}\right),\quad C\left(a+b,1\right),$$ 其中 $a>b>0$．因此 $$[\triangle ABC]=\dfrac 12\begin{vmatrix}-a&\dfrac{-a+1}{a+1}&1\\ -b&\dfrac{-b+1}{b+1}&1\\ a+b&1&1 \end{vmatrix}=\dfrac{(a-b)(ab-a-b)}{(1+a)(1+b)},$$ 从而有 $$ab-a-b=0\iff (a-1)(b-1)=1,$$ 而直线 $l$ 的斜率 $$k=\dfrac{2}{(1+a)(1+b)}=\dfrac{2}{(t+2)\left(\dfrac 1t+2\right)}=\dfrac{2}{5+2\left(t+\dfrac 1t\right)},$$ 其中 $t=a-1$，取值范围为 $(1,+\infty)$，因此直线 $l$ 的斜率的取值范围是 $\left(0,\dfrac 29\right)$．