每日一题[2479]切线方程

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，拋物线 $\Gamma: y^{2}=2 p x$（$p>0$）的焦点为 $F$，过 $\Gamma$ 上一点 $P$（异于 $O$）作 $\Gamma$ 的切线，与 $y$ 轴交于点 $Q$．若 $|F P|=2$，$|F Q|=1$，则向量 $\overrightarrow{O P}$ 与 $\overrightarrow{O Q}$ 的数量积为_______．

答案    $\dfrac 32$．

解析    设 $P(2pt^2,2pt)$，根据抛物线的定义，有

$$|FP|=2\implies 2pt^2=\dfrac p2+2.$$ 而切线 $PQ:2pty=p(x+2pt^2)$，因此 $Q\left(0,pt\right)$，进而 $$|FQ|=1\implies \dfrac{p^2}4+p^2t^2=1,$$ 从而解得 $p=1$，$t^2=\dfrac 34$，从而 $$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=2p^2t^2=\dfrac 32.$$